Matemática discreta Ejemplos

$\frac{1}{5} b + \frac{3}{4} b - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1

Simplifica $\frac{1}{5} b + \frac{3}{4} b - \frac{1}{8}$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $b$ .

$\frac{b}{5} + \frac{3}{4} b - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1.1.2

Combina $\frac{3}{4}$ y $b$ .

$\frac{b}{5} + \frac{3 b}{4} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1.2

Para escribir $\frac{b}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{b}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 b}{4} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1.3

Para escribir $\frac{3 b}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{b}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 b}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $20$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{b}{5}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{b \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{3 b}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1.4.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{b \cdot 4}{20} + \frac{3 b}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1.4.3

Multiplica $\frac{3 b}{4}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{b \cdot 4}{20} + \frac{3 b \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1.4.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{b \cdot 4}{20} + \frac{3 b \cdot 5}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{b \cdot 4 + 3 b \cdot 5}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1.1

Factoriza $b$ de $b \cdot 4 + 3 b \cdot 5$ .

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Paso 1.6.1.1.1

Factoriza $b$ de $b \cdot 4$ .

$\frac{b (4) + 3 b \cdot 5}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1.6.1.1.2

Factoriza $b$ de $3 b \cdot 5$ .

$\frac{b (4) + b (3 \cdot 5)}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1.6.1.1.3

Factoriza $b$ de $b (4) + b (3 \cdot 5)$ .

$\frac{b (4 + 3 \cdot 5)}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{b (4 + 15)}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1.6.1.3

Suma $4$ y $15$ .

$\frac{b \cdot 19}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 1.6.2

Mueve $19$ a la izquierda de $b$ .

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Paso 2

Simplifica $\frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} b + \frac{1}{8} \cdot 1 + b$

Paso 2.1.2

Combina $\frac{1}{8}$ y $b$ .

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{b}{8} + \frac{1}{8} \cdot 1 + b$

Paso 2.1.3

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{b}{8} + \frac{1}{8} + b$

Paso 2.2

Para escribir $b$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{b}{8} + b \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 2.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1

Combina $b$ y $\frac{8}{8}$ .

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{b}{8} + \frac{b \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{b + b \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{b + b \cdot 8 + 1}{8}$

Paso 2.4

Mueve $8$ a la izquierda de $b$ .

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{b + 8 b + 1}{8}$

Paso 2.5

Suma $b$ y $8 b$ .

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{9 b + 1}{8}$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan $b$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 3.1

Resta $\frac{9 b + 1}{8}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} - \frac{9 b + 1}{8} > 0$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{19 b}{20} + \frac{- 1 - (9 b + 1)}{8} > 0$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{19 b}{20} + \frac{- 1 - (9 b) - 1 \cdot 1}{8} > 0$

Paso 3.3.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{19 b}{20} + \frac{- 1 - 9 b - 1 \cdot 1}{8} > 0$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{19 b}{20} + \frac{- 1 - 9 b - 1}{8} > 0$

Paso 3.4

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{19 b}{20} + \frac{- 9 b - 2}{8} > 0$

Paso 3.5

Para escribir $\frac{19 b}{20}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{19 b}{20} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 9 b - 2}{8} > 0$

Paso 3.6

Para escribir $\frac{- 9 b - 2}{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{19 b}{20} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 9 b - 2}{8} \cdot \frac{5}{5} > 0$

Paso 3.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $40$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.7.1

Multiplica $\frac{19 b}{20}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{19 b \cdot 2}{20 \cdot 2} + \frac{- 9 b - 2}{8} \cdot \frac{5}{5} > 0$

Paso 3.7.2

Multiplica $20$ por $2$ .

$\frac{19 b \cdot 2}{40} + \frac{- 9 b - 2}{8} \cdot \frac{5}{5} > 0$

Paso 3.7.3

Multiplica $\frac{- 9 b - 2}{8}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{19 b \cdot 2}{40} + \frac{(- 9 b - 2) \cdot 5}{8 \cdot 5} > 0$

Paso 3.7.4

Multiplica $8$ por $5$ .

$\frac{19 b \cdot 2}{40} + \frac{(- 9 b - 2) \cdot 5}{40} > 0$

Paso 3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{19 b \cdot 2 + (- 9 b - 2) \cdot 5}{40} > 0$

Paso 3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.1

Multiplica $2$ por $19$ .

$\frac{38 b + (- 9 b - 2) \cdot 5}{40} > 0$

Paso 3.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{38 b - 9 b \cdot 5 - 2 \cdot 5}{40} > 0$

Paso 3.9.3

Multiplica $5$ por $- 9$ .

$\frac{38 b - 45 b - 2 \cdot 5}{40} > 0$

Paso 3.9.4

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{38 b - 45 b - 10}{40} > 0$

Paso 3.9.5

Resta $45 b$ de $38 b$ .

$\frac{- 7 b - 10}{40} > 0$

Paso 3.10

Factoriza $- 1$ de $- 7 b$ .

$\frac{- (7 b) - 10}{40} > 0$

Paso 3.11

Reescribe $- 10$ como $- 1 (10)$ .

$\frac{- (7 b) - 1 (10)}{40} > 0$

Paso 3.12

Factoriza $- 1$ de $- (7 b) - 1 (10)$ .

$\frac{- (7 b + 10)}{40} > 0$

Paso 3.13

Reescribe $- (7 b + 10)$ como $- 1 (7 b + 10)$ .

$\frac{- 1 (7 b + 10)}{40} > 0$

Paso 3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7 b + 10}{40} > 0$

Paso 4

Divide cada término en $- \frac{7 b + 10}{40} > 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término de $- \frac{7 b + 10}{40} > 0$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- \frac{7 b + 10}{40}}{- 1} < \frac{0}{- 1}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{7 b + 10}{40}}{1} < \frac{0}{- 1}$

Paso 4.2.2

Divide $\frac{7 b + 10}{40}$ por $1$ .

$\frac{7 b + 10}{40} < \frac{0}{- 1}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$\frac{7 b + 10}{40} < 0$

Paso 5

Multiplica ambos lados por $40$ .

$\frac{7 b + 10}{40} \cdot 40 < 0 \cdot 40$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común de $40$ .

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Paso 6.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 b + 10}{40} \cdot 40 < 0 \cdot 40$

Paso 6.1.1.2

Reescribe la expresión.

$7 b + 10 < 0 \cdot 40$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Multiplica $0$ por $40$ .

$7 b + 10 < 0$

Paso 7

Resuelve $b$

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Paso 7.1

Resta $10$ de ambos lados de la desigualdad.

$7 b < - 10$

Paso 7.2

Divide cada término en $7 b < - 10$ por $7$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $7 b < - 10$ por $7$ .

$\frac{7 b}{7} < \frac{- 10}{7}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 b}{7} < \frac{- 10}{7}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b < \frac{- 10}{7}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$b < - \frac{10}{7}$

Paso 8

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - \frac{10}{7})$

Paso 9